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Combinaisons avec répétitions

Il s'agit de dispositions non ordonnées de $ p$ éléments pris parmi $ n$, discernables, avec répétition éventuellement. Dans ce cas, on n'a donc pas obligatoirement $ p\leq n$.

Considérons que l'on introduise des séparateurs entre $ n$ éléments discernables :

$\displaystyle \underbrace{a\ a\vert\vert c\ c\ c\vert d}_{ p\ \text{éléments pris parmi $n$\ discernables avec répétition}}
$

On a alors $ n-1$ séparateurs. Toute combinaison revient alors à placer les $ n-1$ séparateurs et les $ p$ éléments dans un ordre donné.

Toute combinaison avec répétition est donc une permutation avec répétition des $ n-1$ séparateurs et des $ p$ éléments. Posons $ m=(n-1)+p$.

$\displaystyle \boxed{\forall (p,\ n) \in \mathbb{N}^{2},\ K_{n}^{p}= \mathscr{P}_{m}=\frac{m!}{p!(n-1)!}=\frac{(n+p-1)!}{p!(n+p-1-p)!}=C_{n+p-1}^{p}}$



A. Lefranc 2002-03-14